東大理系数学'22年前期[3]

Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2STに対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
 または 
が成り立つことと定義する。
不等式

が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点ABを考える。さらに、次の条件(i)(ii)をともに満たす点Pをとる。
(i) Pは領域Dの点であり、かつ、放物線上にある。
(ii) Pは、3OABのいずれからも十分離れている。
Px座標をaとする。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)(iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積を求めよ。
(iii) Qは領域Dの点である。
(iv) Qは、4OABPのいずれからも十分離れている。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとする。(2)を最小にするaの値を求めよ。

解答 ややこしいですが、計算ミスに注意して、確実にものにしたい問題です。なお、絶対値記号を含む1次方程式・1次不等式を参照してください。

(1) Pは領域D内の点なので、かつより、
Pが、
Oから十分離れているので、または
Aから十分離れているので、または
Bから十分離れているので、または
の範囲で考えて、以上より、
かつ "または" かつ "またはまたはまたは"
即ち、 かつ "" かつ "または"
即ち、 かつ
と合わせて、 ......[]
別解.上記は不等式で解答しましたが、条件(ii)を満たす領域を図示(右図黄色着色部、境界線含む)して、その領域内の放物線の部分(に存在します。右図太線部分)を考える方が容易です。

(2) Qの座標をとすると、点Qが領域D内の点であることから、
Qが、
Oから十分離れているので、または
Aから十分離れているので、または
Bから十分離れているので、または
Pから十分離れているので、または
の範囲で考えて、以上より、
"または" かつ "またはまたは" かつ "またはまたはまたは" かつ "またはまたはまたは"
即ち、"または" かつ "または" かつ "または" かつ "またはまたはまたは"

不等式がたくさん出てきますが、このうち問題になるのは、です。(1)よりですが、Pが領域D内にあるときには、xyの範囲の限界の値として、問題なしです。
については、となるので、
Pが領域D内にあっても、xyの範囲の限界の値が、領域Dに入らない場合があります。そこで、になる場合とになる場合とで、場合分けします。

のときは、となるので、
かつの面積は、
かつの面積は、
かつの面積は、
かつの面積は、

のときは、となるので、
かつの面積が,ここから、かつの面積1の正方形とかつの面積1の正方形を除いて、
かつの面積は、
かつの面積は、

以上より、のとき、のとき、 ......[]
別解.(2)も、不等式で考察を進めても、面積を計算するときには、重複して計算しないように、それぞれ長方形を描いて確認する必要があるので、最初から条件(ii)を満たす領域から、点Pから十分に離れていない領域(Pを中心とし各辺がx軸またはy軸に平行である12の正方形の内側)を除いた部分(右図黄色着色部、境界線含む)を図示して考える方が安全確実です。上記で述べたように、となる場合ととなる場合で分けて図示して考えることになります。

(3) のとき、
とすると、より、において,この範囲では単調減少で、 (3次関数の最大最小を参照)
のとき、,軸の位置:より、で最小(2次関数の最大最小を参照)です。
以上より、を最小にする
aの値は、 ......[]



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