を満たす実数tに対して
を考える。
におけるtの関数
は単調に減少することを示せ。
とする。
におけるtの関数
の増減を調べ、最大値を求めよ。
を動くときのPの軌跡をCとし、Cとx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに
回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。
は直線OPの傾きです。t が
から1まで変化するとき、直線OPの傾きが単調に減少する、ということは、直線OPは時計回りに回るだけ(逆回りには動かない)、と言っています。
となっているのに、
において導関数
が定義できないのです。範囲を
としてくれていればよいのに、出題者が少し意地悪をしています。
を使わずに、以下のように、違う視点から書く必要があります。
と書くと、
の範囲で
は単調に増加するので、
は単調に減少し、
も単調に減少し、
は単調に減少する。
，
，
，
，
| t |  |  | 1 | ||
 | ＋ | ＋ | ＋ | ||
| x | 0 |  |  | |  |
 | ＋ | 0 | − | ||
| y | 0 | |  |  | 0 |
(1)，(2)も考慮して、Cの概形は右図
のようになります(媒介変数表示された関数のグラフを参照)。
回転すると、Cの通過部分は、右図黄緑色着色部のようになります。
は、半径
の円弧の
を描いて、図の点
に来ます。曲線Cの端点
は図の点
に来ます。黄緑色着色部のうち、線分
，弧
，y軸で囲まれた部分は、線分
，弧
，x軸に囲まれた部分と重なります。従って、求める面積Sは、曲線Cとx軸で囲む面積と半径
の円の面積の
を合わせたものになります。よって、
は半径1の円の面積の
に等しく
，
は、被積分関数
が奇関数で0，よって、
.......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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を平凡に微分する(
，
，
，また、
において
なので、
における増減表は以下(
の最大値は、
のとき、
......[答]
，
です。
により
のとき、t：
，
より、