東大理系数学'13年前期[6]

座標空間において、xy平面内で不等式により定まる正方形S4つの頂点をABCDとする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を,直線ACを軸として回転させてできる立体をとする。
(1) を満たす実数t に対し、平面によるの切り口の面積を求めよ。
(2) の共通部分の体積を求めよ。

解答 以下のように細かく検討していると、とても最後までたどりつけません。正確な論述は難解でも、求積問題としては必ずしも難しい問題ではありません。円錐を母線に平行な平面で切ると切り口は放物線です。実戦的には、対称性を感覚的に見破って計算を進め、答だけでも出しておくようにしましょう。

(1) 正方形Sxy平面内で、に位置する部分と、に位置する部分に分けてを考えます。
(i) まず、に位置する部分について、
BC上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・@ (2直線の平行・垂直を参照)
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は@)内で回転させると、より、
(空間座標を参照) かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているのでであって、切り口は、

 () ・・・A
(ii) に位置する部分について、
AD上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy平面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・B
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線はB)内で回転させると、より、
かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているので、であって、切り口は、

 () ・・・C
平面によるの切り口は、(平面上で)BとCに囲まれた図形になります。
Bとを連立すると、
Cとを連立すると、
よって、切り口の面積は、
 (定積分の公式を参照)

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注.要するに、切り口が放物線とわかっていて、積分公式の利用を考えるのであれば、平面で切ったときの放物線の開き具合と、放物線ととの2交点の距離がわかればよいわけです。は、円が直線を切り取る弦の長さとして (円と直線の位置関係を参照),開き具合は、放物線の式をとおき、のときとしてなどとすれば簡単に求められます(2次関数を参照)

(2) とで何が違うか、ということを考えてみます。
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせは、正方形Sと回転軸ACの組み合わせと、y軸に関して線対称です。回転のさせ方も同じなので、回転体とは平面即ちyz平面に関して対称です。
(1)では、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えました。この部分ととの共通部分を考えるのであれば、対称性から、を、x軸のの部分を通過してx軸に垂直な平面で切った切り口を考える代わりに、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えればよいことになります。
また、
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせのの部分との部分とは、原点Oに関して点対称です。を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口は、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口をz軸の回りに回転させたものになります。
従って、として、平面によるの切り口は、平面上において、A,Cと
y軸に関して対称な、に挟まれた図形になります。とは、より,つまり、において交わります。においては、
となるので、の共通部分を平面で切った切り口は、に挟まれた図形になります。
この面積は、

求める体積は、yz平面に関してと対称なことから、
......[]
注.答案としては、yz平面に関してと対称で、z軸に関して回転すると自身に重なることを断り、あとは計算過程を示す程度で妥協すべきです。


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