東大理系数学'13年前期[3]

AB2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれのコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればA1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ii) Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればB1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして
ABのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でA1点、B2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) ABあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 状況がつかみにくいので、最初は、コインを1回投げ、2回投げ、としていくとどうなるか、ていねいに調べましょう。(2)の級数和の計算はあまりに面倒で、実戦的には避けるのが無難です。もヒントになっていないので、出題者もできると思っていないのではないか、という気がします。

(1) コインを1回投げてAが勝つことはないので、です。
コインを2回投げてAが勝利するのは、表表、と出た場合で、その確率です。
コインを
3回投げてAが勝つことはないので、です。
コインを
4回投げてAが勝つのは、表裏裏表、と出るか、裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
コインを
5回投げてAが勝つのは、表裏表裏表、と出るか、裏表裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B1点獲得していることに注意してください。
コインを
6回投げてAが勝つのは、表裏裏裏裏表、と出るか、裏裏表裏裏表、と出るか、裏裏裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B0点です。
これで、コインを偶数回投げるときと奇数回投げるときとで違いがありそうだ、ということがわかります。
コインを
7回投げてAが勝つのは、表裏表裏裏裏表、表裏裏裏表裏表、裏表裏表裏裏表、裏表裏裏裏表表、裏裏表裏表裏表、裏裏裏表裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B1点獲得しています。また、裏は全部で4回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、または、2回、または、4回出た後に表が出る場合で、3通りあります。
B1点与えられるのは、裏が1回、または、3回出た後に表が出る場合で、2通りあります。
6がかかるのは、表裏のパターンが通りあるからです。
コインを
8回投げて、Aが勝つのは、表裏裏裏裏裏裏表、裏裏表裏裏裏裏表、裏裏裏裏表裏裏表、裏裏裏裏裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B0点です。裏は全部で6回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、4回、6回出た後に表が出る場合で、4通りあります。4がかかるのは、表裏のパターンが4通りあるからです。

Aが最終的に勝つためには、裏が偶数回出ていて最後に表が出る必要がありますが、Bの番のときに表が出てB1点与えられていると、Aの最後の番が来たときに、
(i) A0点なら、偶数回の裏と1回の表が出ており、ここまでにコインは奇数回投げられていて、ここから表が2回出てAが勝つと、コイン投げの回数は奇数です。
(ii) A1点なら、偶数回の裏と2回の表が出ており、ここまでにコインは偶数回投げられていて、ここから表が1回出てAが勝つと、コイン投げの回数は奇数です。
いすれにしても、B1点獲得していてAが勝つのは、コイン投げの回数が奇数のときです。
コイン投げの回数が偶数で
Aが勝つときにはBの得点は0,コイン投げの回数が奇数でAが勝つときには、Bの得点は1です。

従って、コインを
()投げてAが勝つとき、Bの得点は1で、表が3回出るので、裏は回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、・・・、回出た後に表が出る場合で、k通りあります。
B1点与えられるのは、裏が1回、3回、・・・・、回出た後に表が出る場合で、通りあります。
よって、 
(のときも成り立ちます)
コインを回投げて()Aが勝つとき、Bの得点は0で、表が2回出るので、裏は回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、・・・、回出た後に表が出る場合で、k通りあります。
よって、
以上より、
nが奇数のとき、より、
nが偶数のとき、より、
......[]

(2) nの偶奇で分けて和を求めます(無限級数を参照)。以下で、とします。
とすると、
 (等比数列を参照)
 ・・・@
ここで、とすると、よりより、
 ・・・A
とすると、


 ( @)

ここで、とすると、より、
よって、これとBとから、
......[]


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