東大理系数学'13年前期[2]

aを実数とし、で定義された関数を次のように定める。

このときのグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

解答 のグラフを追求していくと行き詰まります。文字定数は分離する(微分法の方程式への応用(2)を参照)、という定石であっさり解決します。

のグラフとのグラフの共有点の
x座標は、方程式の解です。

なので、両辺をxで割ると、
この解は、を連立したときの解です。
とおくと、
 (商の微分法を参照)
とすると、においては、より ()

x0に近いところでの増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x0




×0000
×
であり、の極値について、の場合は、となるので、増減表より、のグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つaは、
.......[]


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