東大理系数学'13年前期[1]

---

実数a，bに対し平面上の点を

　()

によって定める。このとき、次の条件(i)，(ii)がともに成り立つようなをすべて求めよ。

(i)

(ii) ，，，，，は相異なる。

---

解答　最近流行の直交変換に関する問題です。東大理系では、昨年の[5]，[6]に続いて3題、行列の問題が連続することになります。

行列を用いて書くと、

　(行列と連立1次方程式を参照)

とおきます。です。ところで、

これを繰り返し用いることにより、

より、
は0以上の実数なので、に限られます。
これを満たす実数a，bを、

，　()　･･･�@　(三角関数を参照)

とおくと、

これは、角θ だけ反時計回りに回転させる回転移動を表す行列です(1次変換(その2)を参照)。

　(行列の積を参照)

と仮定すると、

よって、帰納的に、に対して、　(数学的帰納法を参照)
より、

よって、，
∴ 　(k：整数，)

　(k：整数，)　･･･�A

として、

のときも含めて、は、を反時計回りにだけ回転させた点です。
のとき、となり不適。

のとき、 ()は、相異なる点です。

のとき、となり不適。

のとき、となり不適。

のとき、となり不適。

のとき、 ()は、相異なる点です。

以上と�@，�Aより、

......[答]

---

　　　東大理系数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元