東大理系数学'11年前期[5]
p，qを2つの正の整数とする。整数a，b，cで条件
，
を満たすものを考え、このようなa，b，cをの形に並べたものをパターンと呼ぶ。各パターンに対して
とおく。
(1) パターンのうち、となるものの個数を求めよ。また、となるパターンの個数を求めよ。
以下、の場合を考える。
(2) sを整数とする。パターンでとなるものの個数を求めよ。
(3) パターンの個数を求めよ。
解答　パターンの背景はわかりませんが、要するに空間内の格子点を数える問題です。問題文に惑わされなければ、誘導がついているので、悩み込むことはないと思います。但し、細部では神経を使います。

整数の組と、パターンとは1対1で対応します。パターンの個数は格子点の個数と一致します。

(1)
より、

より、
問題文中の条件：より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も個 ......[答]
より、

より、
問題文中の条件：より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も個 ......[答]

(2) のとき、

これより、を満たす整数cの個数について、
　･･･①
また、
より、
これと、問題文中の条件：との共有部分を、以下で場合分けして、考えます。
(i) または ，即ち、 または のとき、
共有部分は存在せず、
パターンでとなるものの個数は0個 ......[答]
(ii) ，即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、①を用いて、
　(等差数列を参照)
個 ......[答]
(iii) ，即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、①を用いて、
個 ......[答]

(3) (2)において、となるパターンが存在するのは、(ii)のの場合と、(iii)のの場合で、パターンの個数は、


個 ......[答]

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