東大文系数学'10[1]

Oを原点とする座標平面上に点Aをとり、の範囲にあるθ に対して、次の条件(i)(ii)をみたす2BCを考える。
(i) Bの部分にあり、かつである。
(ii) Cの部分にあり、かつである。ただし、△ABCOを含むものとする。
以下の問(1)(2)に答えよ。
(1) OABと△OACの面積が等しいとき、θ の値を求めよ。
(2) θ の範囲で動かすとき、△OABと△OACの面積の和の最大値と、そのときのの値を求めよ。

解答 難問とは言えませんが、(2)では、正弦・余弦の値が汚くなるので、試験会場ではしっかり見直しさせられる問題です。これでいいのかな?もっと別の技巧でもあるのか?という気にさせられますが、基本に立ち返って考える「勇気」のようなものが必要かも知れません。

(1) OABの面積は、
 ・・・@ (三角形の面積を参照)
ABCOを含むので、頂点Aと辺BCは原点に関して反対側に位置し、
より、△OACの面積は、
 (加法定理を参照)
 ・・・A
@,Aより、とすると、


より、 ......[]

(2) OABと△OACの面積の和Sは、@,Aより、

より、αを、
をみたす角として、
 (三角関数の合成を参照)
より、αは、を満たす角で、のときにとなりますが、このとき、であって、このθ は、を満たしています。
よって、のとき、
Sの最大値: ......[]


   東大理系数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元