東大文系数学'10年[1]
Oを原点とする座標平面上に点Aをとり、の範囲にあるθ に対して、次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える。
(i) Bはの部分にあり、かつである。
(ii) Cはの部分にあり、かつである。ただし、△ABCはOを含むものとする。
以下の問(1)，(2)に答えよ。
(1) △OABと△OACの面積が等しいとき、θ の値を求めよ。
(2) θ をの範囲で動かすとき、△OABと△OACの面積の和の最大値と、そのときのの値を求めよ。
解答　難問とは言えませんが、(2)では、正弦・余弦の値が汚くなるので、試験会場ではしっかり見直しさせられる問題です。これでいいのかな？もっと別の技巧でもあるのか？という気にさせられますが、基本に立ち返って考える「勇気」のようなものが必要かも知れません。

(1) △OABの面積は、
　･･･①　(三角形の面積を参照)
△ABCがOを含むので、頂点Aと辺BCは原点に関して反対側に位置し、
より、△OACの面積は、
　(加法定理を参照)
　･･･②
①，②より、とすると、

∴
より、 ......[答]

(2) △OABと△OACの面積の和Sは、①，②より、

より、αを、
，
をみたす角として、
　(三角関数の合成を参照)
，より、αは、を満たす角で、のときにとなりますが、このとき、であって、このθ は、を満たしています。
よって、のとき、Sの最大値： ......[答]

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