東大理系数学'10年前期[5]

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Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P，Q，RがAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、P，Qは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。P，Q，Rの速さは、それぞれm，1，2であるとする。(したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mはをみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。

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解答　回転運動の問題のように見えますが、実質的には整数問題です。総当たりチェックする範囲を絞ることが目標です。以下では、tの可能性を6通りに絞り、その各場合について、を満たす整数mを探すことになります。

円の中心を原点O，に沿ってこの方向にx軸，を反時計回りに回転した方向にy軸をとり、点Aの座標をとします。
3点P，Q，Rが円周に沿って移動した距離は、，t，で、半径が1なので、この距離はそのまま回転角の大きさとなり、P，Qが反時計回り、Rが時計回りに動くことから、P，Q，Rの時刻tにおける座標は、

P，Q，R　()　(三角関数を参照)

円周に内接する△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形になるための必要十分条件は、
PRが円の直径であって、かつ、
となることですが、PRが円の直径であるためには、

かつ 　･･･�@

弦QRの上に立つ円周角は円周角のなので、
よって、　(内積を参照)

∴ 　(加法定理を参照)

においては、より、

()

∴ 　･･･�A
�@より、

かつ
　(和を積に直す公式を利用)

のときにはとなり得ないので、両者がともに成り立つためには、

�Aより、

()

よって、jを整数として、

∴ 　･･･�B
より、

()　･･･�C

・のとき、�Cは、

∴
�Bより、
また、�Aより、

・のとき、�Cは、

∴
のとき�Bより、
のとき�Bより、
また、�Aより、

・のとき、�Cは、

∴
このうち、�Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、�Aより、

・のとき、�Cは、

∴
このうち、�Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、�Aより、

・のとき、�Cは、

∴
このうち、�Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、のとき，のとき
また、�Aより、

・のとき、�Cは、

∴
このうち、�Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき
また、�Aより、

以上より、

......[答]

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