東大理系数学'10年前期[2]

(1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
(2) であるようなすべての自然数mnに対して、次の不等式を示せ。

解答 定積分に関する不等式を導く問題です。同一趣旨の過去問07年前期[6]と比べると、素直に考えて行ける分だけ、本問の方がやや容易かも知れません。

(1) 定積分の被積分関数は、の形の分数関数です。これを
として、曲線は、漸近線をもつ双曲線です(種々の関数のグラフ(1)を参照)
 (不定積分の公式を参照)
 ・・・@
@は、より、曲線x軸,y軸とで囲む部分、即ち、右図黄緑色着色部分の面積で、3頂点とする三角形の面積よりも小さくなるので、このことから与不等式の右側の不等号が示せそうです。
同様に考えて、与不等式の左側の不等号は、
3頂点とする三角形の面積と比較することにより示せるのではないか、と、期待できます。
を通る
直線は、
 ・・・A
を通る直線は、
 ・・・B
Aとは、において、
より、直線Aは曲線から上側にあり、
Bとは、において、
より、直線Bは曲線から下側にあります。
これより、直線B,曲線,直線Aと
x軸,y軸とで囲む面積を比較して、
 (定積分と不等式を参照)

(2) 示すべき不等式の右辺は、
となっていて、同様に、不等式の左辺についても、
であることに着目します。
定積分
Iを計算した結果を入れた(1)の不等式
の各辺をで割ってできる不等式
 ・・・C
の右辺を、として加え合わせると、になるので、(1)の結果を変形して加え合わせればよい(数列の求和技法を参照)、ということになります。左辺の形も右辺に合わせて、になっていると都合がよいのですが、
より、
となるので、Cより、
 ・・・D
Dにおいて、として、

・・・・・・
辺々加え合わせることにより、


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