東大文系数学'09[4]

2次以下の整式に対し
を考える。
(1) のときSaの関数として表せ。
(2) をみたしながらfが変化するとき、Sの最小値を求めよ。

解答 微積の計算問題ですが、微積の計算すら必要としないかも知れません。なお、定積分と面積を参照してください。

(1) ,よって、

 (微分を参照)
のとき、
Sは縦1,横2の長方形の面積で、
のとき、
の範囲に入るかどうかで場合分けをします。
(i) のとき、ですが、
において
Sは上底,下底,高さ2の台形の面積で、
(ii) のとき、

つまり、のとき、
のときと同様に、
Sは上底,下底,高さ2の台形の面積で、
(iii) のとき、つまり、 または のとき、
定積分を三角形の面積と考えることができて、
とすると、
のとき、


のとき、

以上より、
......[]

(2) 相加平均・相乗平均の関係より、
のとき、
 (等号成立は、,即ち、のとき)
のとき、
 (等号成立は、,即ち、のとき)
のときにであることを考慮して、Sの最小値は、2 ......[]


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