東大理系数学'09年前期[6]
平面上の2点P，Qの距離をと表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△がある。△の内部に3点，，を、 ()となるようにとる。また、
，，
，，
とおく。のそれぞれに対して、時刻0にを出発し、の向きに速さ1で直進する点を考え、時刻tにおけるその位置をと表すことにする。
(1) ある時刻tでが成立した。ベクトルと、ベクトルとのなす角度をθ とおく。このときとなることを示せ。
(2) 角度，，を，，によって定義する。αをかつをみたす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで、の値のとる範囲をαを用いて表せ。
(3) 時刻，，のそれぞれにおいて、次が成立した。
，，
このとき、時刻において同時に
，，
が成立することを示せ。
解答　かつての後期試験風の問題ですが、こういう問題でこそベクトルの基本が問われています。(1)，(2)は題意を把握できればそれほど難しくはありませんが、(3)は数値処理の部分で多大な気力・知力を必要とします。

()より、は動点の移動方向を示す単位ベクトルで、時刻0にを出発し、の向きに速さ1で直進する点の時刻tにおける位置を示す位置ベクトルは、
　･･･①
となります。
(1) より、です。①より、

この式は、右図のように、時刻0にを出発した動点がの方向に速さで進み、時刻tにからの距離が1の範囲、つまりを中心とする半径1の円内に来ている、ということを意味しています。右図において、として、より
∴

(2) 問題文の図を眺めていても、，の関係は見えてきません。(1)の結果は、，は勝手な方向を向いているわけではなく、はにかなり近い方向を向いている、ということを意味しています。つまり、，の方向にはの方向に関して何らかの制約があるのですが、問題文の図ではそれが把握できないのです。
そこで、，，だけを抜き出したベクトル図を描いてみます。右図を見ると、とのなす角がθ，とのなす角がなので、です。複号が＋になる(右図(i))とき、，複号が－になる(右図(ii))とき、となります。より、三角形DCEは二等辺三角形で、より、
(複号同順)
∴
(1)より、より、 ......[答]

(3) 示すべき式、例えば、

は、時刻Tに動点は三角形の中心Oのかなり近くにいることを意味しています。時刻0から時刻までの間に速さ1で動点が進む距離は、です。つまり、を出発してOに向かって進むのであればちょうどOに到着する時刻に、動点はちょっとずれた方向：の方向に進んでいるのでOには来ないかも知れませんがOのそばには来ている、ということです。
右図より、とのなす角はで、
　(内積を参照)
となることから、

　(∵ )
∴ 　･･･②
以下では、②式を示すことが目標になります。
ところで、から(2)の結果が得られるので、，，の3式から、
　･･･③
　･･･④
　･･･⑤
が得られます。ここで④＋⑤より、
　･･･⑥
③の各辺にマイナスをつけて不等号の向きを変え、
　･･･⑦
⑥＋⑦より、
∴ 　･･･⑧
注．ここを、(③＋④＋⑤)÷2より、　･･･⑨
⑦＋⑨より、
としてしまうと、⑧よりも緩い条件になってしまい、
　(の変形はを利用)




()
と、②右辺()との差が極めて小さく、②を示すのが難しくなります。

⑧より、
　(三角関数の諸公式を参照)

この右辺と②の右辺を各々2乗して比較すると、


∴
よって②が成り立つので、が成立します。
同様にして、，も成り立ちます。

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