東大理系数学'09前期[5]

(1) 実数xをみたすとき、次の不等式を示せ。
(2) 次の不等式を示せ。

解答 試行錯誤は必要ですが、しっかり計算して得点しておきたい問題です。
(1)は、いきなり(右辺)(左辺)では、指数の扱いが面倒なので対数を考えます。なるべく微分しやすい形に整理しましょう。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) 与不等式両辺の自然対数を考えても不等号の向きは変わりません。
 ・・・@
@を示せばよいのですが、この形で(右辺)(左辺)として微分するとlogが残って厄介です。そこで、で場合分けして、xをかけた式を示すことにします。
(i) のとき、@両辺にxをかけると、
 ・・・A
この場合は、以下でAが成り立つことを示します。
 ・・・B
とおきます。
 (微分の公式積の微分法を参照)
よって、単調増加で、
従って、も単調増加で、
よって、Aが成り立ちます。
(ii) のとき、@両辺にxをかけると、
 ・・・C
この場合は、以下でCが成り立つことを示します。
Bのようにをおくと、
よって、は単調減少で、
従って、は単調増加で、
よって、Cが成り立ちます。
(i)(ii)より、をみたすとき、が成り立ちます。

(2) 問題文の不等式
 ・・・D
は非常にきわどい不等式になっていて、電卓で計算してみると(試験場ではこうは行きませんが)
となっていて、粗雑な評価では示せません。
(1)の不等式を利用するにしても、とかを単に代入するのでは、Dの形を作ることができません。
Dには、
0.990.9999が出てくるのですが、
となるので、(1)の不等式のにはをかけ、にはをかけてとするとうまく行きそうです。
そこで、
(1)の不等式の両辺にをかけてみます。

を代入すると、
 ・・・E
左辺の形に合わせて
(1)の不等式の両辺にをかけると、

を代入すると、
 ・・・F
E,Fより、Dが示せました。


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