東大理系数学'09年前期[5]

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(1) 実数xが，をみたすとき、次の不等式を示せ。

(2) 次の不等式を示せ。

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解答　試行錯誤は必要ですが、しっかり計算して得点しておきたい問題です。
(1)は、いきなり(右辺)−(左辺)では、指数の扱いが面倒なので対数を考えます。なるべく微分しやすい形に整理しましょう。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) 与不等式両辺の自然対数を考えても不等号の向きは変わりません。

　･･･�@

�@を示せばよいのですが、この形で(右辺)−(左辺)として微分するとlogが残って厄介です。そこで、，で場合分けして、xをかけた式を示すことにします。

(i) のとき、�@両辺にxをかけると、

　･･･�A

この場合は、以下で�Aが成り立つことを示します。

　･･･�B

とおきます。

　(微分の公式、積の微分法を参照)

よって、は単調増加で、
従って、も単調増加で、
よって、�Aが成り立ちます。

(ii) のとき、�@両辺にxをかけると、

　･･･�C

この場合は、以下で�Cが成り立つことを示します。
�Bのようにをおくと、
よって、は単調減少で、
従って、は単調増加で、
よって、�Cが成り立ちます。

(i)，(ii)より、，をみたすとき、が成り立ちます。

(2) 問題文の不等式

　･･･�D

は非常にきわどい不等式になっていて、電卓で計算してみると(試験場ではこうは行きませんが)、

，

となっていて、粗雑な評価では示せません。
(1)の不等式を利用するにしても、とか，，を単に代入するのでは、�Dの形を作ることができません。
�Dには、0.99と0.9999が出てくるのですが、

，

となるので、(1)の不等式のにはをかけ、にはをかけてとするとうまく行きそうです。
そこで、(1)の不等式の両辺にをかけてみます。

を代入すると、
∴ 　･･･�E
左辺の形に合わせて(1)の不等式の両辺にをかけると、

を代入すると、
∴ 　･･･�F
�E，�Fより、�Dが示せました。

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