東大理系数学'09前期[4]

aを正の実数とし、空間内の2つの円板

を考える。y軸の回りに回転してに重ねる。ただし回転はz軸の正の部分をx軸の正の方向に傾ける向きとする。この回転の間にが通る部分をEとする。Eの体積をとし、Eとの共通部分の体積をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 (1)はまだしも、(2)は難問です。過去問に類似の計算問題があるだけに、積分計算に手を焼いて涙を飲んだ受験生も多いだろうと思います。

円板 ・・・@
を回転するので、体積を計算すると言ってもなかなかイメージが湧かないかも知れませんが、要は、立体Eを回転軸(本問ではy)に垂直な平面で切ったときの断面Fの面積を回転軸に沿って積分すればよいわけです(定積分と体積を参照)。円板を回転すると思わないで、断面Fだけに注目し、右図(上がy軸方向から見た図、下がz軸方向から見た図)のように円板を平面 ()で切ったときにできる線分を回転すると考えます。円板の領域の不等式@においてとして、
 ・・・A
Aは線分を表します。線分上の点でy軸との距離が最小となるのは線分の中点で、距離の最小値はaです。線分上の点でy軸との距離が最大となるのは両端で、距離の最大値は三平方の定理よりです。
線分Aを
y軸のまわりに回転するとき線分の通過領域は、半径aの円と半径に挟まれた領域の中にあり、円板回転して円板の位置まで回転させるので、線分Aの通過領域は右図の水色着色部分になります。

(1) 右図水色着色部分のうちの部分の断面積は、半径の円の面積から半径aの円の面積を引いてをかけたものになります。
立体Ezx平面()に関して対称なので、
 (定積分と体積を参照)
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(2) は右上図水色着色部分の面積を積分したものになります。の違いは、右図の赤線枠で囲まれた部分2カ所の面積が追加される点にあります。
として、赤線枠で囲まれた部分1個の面積は、扇形OBCの面積から直角三角形OABの面積を引くことにより、
 ・・・B
これより、は、+B×2として、
として、
とすればよいのですが、
という積分が出てきて、を利用して、と置いても、
となり、積分計算が手に負えません。試験場では、積分計算を試行錯誤する(泥沼にハマるでしょう)よりも、ここで断念して次の問題に進んでしまうのが賢明ですが、本問にこだわるのであれば、を聞いているのではなく、極限値:を聞いている、ということに注意します。とすると、立体Eの肉厚(外側の円と内側の円の半径差)が小さくなり、がある値に近づいてきそうです。aにかかわらず定数値:になることからすると、になりそうだ、と見当をつけます。ということになれば、極限を求めるときに、はさみうちにするのだろう、という方針が立ちます。なので、よりも大きくなるものを探せばよい、ということになります。
ここで、そもそも積分計算自体が困難なことを考えてください。積分計算を行ってからではさみうちにするのではなく、積分計算ができる形のものを探してにするのだろう、ということになるでしょう。つまり、断面積の時点でよりも大きくなるものを探すべきです。
Bよりも大きくなるものとして、扇形
OBCをもってくると、としたときに無限大に発散してしまうので、もう少し小さくてBよりも大きくなるもの、例えば右図の台形ABFCを考えます(他にも考えられます)
台形
ABFCの面積は直角三角形OCFの面積から直角三角形OABの面積を引いたものです。両者の相似比はaなので、面積比になり、直角三角形OABの面積がであることから、台形ABFCの面積は、
これは、Bよりも大きく、
となります。この右辺をとすると、(1)の結果を使って、
がわかればよいので、実は定積分を計算する必要はない(積分の形からaと無関係な有限確定値になることは明らかで、)のですが、一応計算しておきます。
この積分は、とおくと、
kのとき、φより、
 (置換積分を参照)





より、
ここでとすると、右辺→となるので、はさみうちの原理より、
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