東大文系数学'08年前期[4]

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pを自然数とする。次の関係式で定められる数列，を考える。

(1) に対し、次の2つの数がともにで割り切れることを示せ。

，

(2) pを3以上の奇数とする。このとき、はで割り切れるが、では割り切れないことを示せ。

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解答　連立漸化式の問題に見えますが、整数の問題です。
面倒な計算をどうやりきるか、ということでしょうか。

，

とおきます。問題文中の関係式：

　･･･�@

(1) 数学的帰納法によって示します。

(�T) のとき、

，

はともにで割り切れます。

(�U) のとき、，がともにで割り切れる、つまり、，を整数として、，と書ける、と、仮定します。

　･･･�A
　･･･�B

として(，の形を作ることが目標です)、

　･･･�C
　･･･�D

�C−�Aより、

　･･･�E

�@，�Bより、

これとより、�Eは、

中カッコ内は整数なので、はで割り切れます。
�D−�Bより、

　･･･�F

�@より、

　･･･�G

�A＋�Bより、

�Gに代入して、

長いのでこの中カッコをとおきます。は連続2整数の積で偶数なのでは整数です。を�Fに代入し、

�Bより、なので、

カッコ内は整数なので、はで割り切れます。
以上より、，はともにで割り切れるので、のときも成立します。

(�T)，(�U)より、 に対し、， がともにで割り切れることが示されました。

(2) (1)より、 に対し、を整数として、

とおくことができます。
∴

pは奇数なのでは偶数でありは整数です。も整数です。中カッコ内はpの倍数に1を加えたものになっていて、pが3以上の奇数のときにはpで割り切れません。
よって、がで割り切れるが、では割り切れないことが示されました。

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