東大文系数学'08前期[4]

pを自然数とする。次の関係式で定められる数列を考える。
(1) に対し、次の2つの数がともにで割り切れることを示せ。
(2) p3以上の奇数とする。このとき、で割り切れるが、では割り切れないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題に見えますが、整数の問題です。
面倒な計算をどうやりきるか、ということでしょうか。


とおきます。問題文中の関係式:
 ・・・@
(1) 数学的帰納法によって示します。
(T) のとき、
はともにで割り切れます。
(U) のとき、がともにで割り切れる、つまり、を整数として、と書ける、と、仮定します。
 ・・・A
 ・・・B
として(の形を作ることが目標です)
 ・・・C
 ・・・D
C−Aより、
 ・・・E
@,Bより、
これとより、Eは、

中カッコ内は整数なので、で割り切れます。
D−Bより、
 ・・・F
@より、
 ・・・G
A+Bより、
Gに代入して、
長いのでこの中カッコをとおきます。は連続2整数の積で偶数なのでは整数です。をFに代入し、
Bより、なので、
カッコ内は整数なので、で割り切れます。
以上より、はともにで割り切れるので、のときも成立します。
(T)(U)より、 に対し、 がともにで割り切れることが示されました。

(2) (1)より、 に対し、を整数として、
とおくことができます。
pは奇数なのでは偶数でありは整数です。も整数です。中カッコ内はpの倍数に1を加えたものになっていて、p3以上の奇数のときにはpで割り切れません。
よって、で割り切れるが、では割り切れないことが示されました。


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