東大理系数学'08前期[1]

座標平面の点へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先をと表す。fを用いて直線,・・・ を以下のように定める。
は直線である。
・点P上を動くとき、が描く直線をとする()
以下1次式用いてと表す。
(1) で表せ。
(2) 不等式が定める領域をとする。,・・・ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。

解答 (2)は、もしかして無限角形?と思いきや、やや拍子抜けでした。

(1) より、です。
上の点が移動fによって、どういう点に移動するのかを考え、移動先の点が乗っている直線を求めてみます。
とかとおくことになりますが、
0の場合には困ることが起きるので、別扱いにして考えることにします。

まず、では、が直線になりません。のどちらか一方は
0になりません。そこで、
(i) のとき、とおき、Pとして、実数tがいろいろな値をとるとき、は、直線を描きます。
より、 ・・・@
(ii) のとき、とすると、として、
あらためてとして、

 (漸化式を参照)
ここで、とすると、@と一致するので、(i)(ii)合わせて、
......[]

(2) (1)より、
,つまり、

,つまり、
こうして、たくさんの直線ができるわけですが、無限に存在する直線で囲む図形だとすると、が無限角形になりかねません。
そこで、これらの直線がどのように交点を作るかを調べます。
と、を連立すると、となります。
fによって、どこに移るかを調べます。
となって、自分自身に移ります。
ということは、の交点であるとともに、上の点でもあり、繰り返し
fによって移動させると、全てのnについて、上の点だということです。
言い換えると、は全てを通る、ということです。
であれば、領域を求めるためには、,・・・
の中で、傾きが最大の直線と最小の直線を求めればよいことになります(不等式と領域を参照)

(1)の結果より、
 ・・・A (3項間漸化式を参照)
特性方程式は、

A  ・・・B
A
は、初項:,公比:等比数列
 ・・・C
B−Cより、

より、 (のときもこれでよい)
直線の傾きは、
は単調増加な数列で、
また、のとき、で、は直線:に近づきます。近づきますが、に一致するわけではないので、であっても、かつの部分は、という領域に含まれます。
より、,・・・
すべてに含まれるような点の範囲は、右図で黄緑色に着色した部分(直線(点線、及び、白マル)を含まず、直線上のの部分(太線)を含む)


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