東大理系数学'07年前期[2]

n2以上の整数とする。平面上に個の点O,・・・,があり、次の2つの条件をみたしている。
@  () ()
A 線分の長さは1,線分の長さはである。
線分の長さをとし、とおくとき、を求めよ。

解答 この問題を落とすようでは、東京大学で学ぼうなどと思わないで欲しい、という問題です。

まず、,・・・,は、すべて、
2角が等しい三角形で相似であることに気づく必要があります。となれば、相似比を考えて、
・・・
1 ・・・
・・・
よって、として、数列等比数列であり、
これで、とするのですから、
極限の公式を使う問題なのだろう、というストーリーが見えてきます。
は、単に等比数列の和に過ぎません。公式を用いて、

 ・・・B

において、余弦定理より、
 (半角の公式)
Bに代入して、
 ( 極限の公式を参照)

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