東大文系数学'06前期[4]

θ は、の範囲の角度を表す定数とする。の範囲で、関数
が最小値をとるときの変数xの値を、で表せ。

解答 絶対値記号3つありますが、実質は1つです。ていねいに場合分けをして調べましょう。

より、
よって、
とおくと、より

(i) のとき、
より、
 (微分・導関数を参照)

の軸位置:


これより、は、に解をもっていて(2次方程式を参照)においては、よりは増加し、において、最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
(ii) のとき、
より、


の軸位置:


これより、は、に解bをもっていて(もう1つの解はにある)、増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
b
a

0



増減表より、において、最小値をとります。
(i)(ii)を合わせて考えると、より、においては、において最小です。

 (2倍角の公式を参照)
......[
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