東大理系数学'06年前期[5]

---

とし、数列を漸化式

　　()

によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 各に対し、とおく。

のとき、となることを示せ。

(2) を求めよ。

(3) を求めよ。

---

解答　難問というわけではないですが、それなりに工夫を凝らす必要があって一本道ではありません。なお数列を参照してください。

(1) より、　･･･�@

　()　･･･�A　より、

　･･･�B

�Aより、で、ならで帰納的に、に対して、　･･･�C　(数学的帰納法を参照)
よって、についても、に対して、
これと、�Bより、
�@を用いて、のとき、

(2) �Cより、　･･･�D

また、(1)より、
これより、のとき、

　･･･�E

ところで、のとき、なるxについて、
等号は恒等的に成り立つわけではないので、

について加え、さらに、を用いて、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えると、

　(階段関数と不等式を参照)

左辺は、　(不定積分の公式を参照)
右辺は、

∴

各辺をnで割ると、

　･･･�F

とおくと、

x	0		4
	×	＋	0	−
	×

増減表より、

∴

両辺をx　()で割ると、
ここで、とすることにより、
よって、はさみうちの原理より、
これより、�Fの左辺と右辺は、のとき、，だから、ともに0に近づく。
はさみうちの原理より、�Fの中辺についても、

　･･･�G

�D，�Eを用いて、

さらに、はさみうちの原理より、

......[答]

(3) (1)よりが言えているので、　･･･�H

従って、となるで、となるものを探せばよいのです。
このためには、，つまり、という形の不等式をひねり出さないといけません。
�Bをながめていると、を利用すれば、この形が作れそうです。

�Bにおいて、のとき、より、
�@を用いて、のとき、

これより、

これと、�Hから、

�Gを使うと、左辺は、のとき、

よって、はさみうちの原理より、 ......[答]

---

　　　東大理系数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元