東大文系数学'05年[3]

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0以上の実数s，tが

をみたしながら動くとき、方程式

の解のとる値の範囲を求めよ。

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解答　やや手強い、対称式と2次方程式の問題です。

　･･･�@

�@の左辺をとおきます。

，

とおく(2次方程式の解と係数の関係を参照)と、s，tは2次方程式：

の2解で、2解とも0以上の解なので、

として、

判別式：
の軸：

よって、 かつ 　･･･�A
また、より、

∴ 　･･･�B
�Aに代入すると、
∴
より、　･･･�C

�Bを用いて、

と表せるので、�@は、

となります。について解いても、きれいな形にはならないので、をuの2次方程式：

　()

とみて、が�Cの範囲に実数解をもつ条件を考えます(2次方程式の解の配置を参照)。

・�Cの範囲に1解を有する、または、と他に1解、または、と他に1解をもつ場合、より、

⇔ または または

より

従って、は、に含まれます。

・の軸の位置： ()は、�Cの範囲に入らないので、2解とも�Cの範囲に入る、ということはありません。

以上より、の解のとり得る値の範囲は、 ......[答]

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