東大理系数学'04年前期[1]

xy平面の放物線上の3PQRが次の条件を満たしている。
は一辺の長さaの正三角形であり、点PQを通る直線の傾きはである。
このとき、aの値を求めよ。

解答 PQRの座標をとします。正三角形ができるのは、3PQRが放物線上に右図のように並ぶときです。
直線
PQQRRPの傾きを (αβγ は直線PQQRRPx軸とのなす角で、x軸から反時計回りを正とする)として、
 (直線の方程式を参照)
とすると、題意より、
 (正接の加法定理を参照)
・・・@, ・・・A
@−Aより、

より、
右図より(三角比を参照)
......[]


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