東大理系数学'02年前期[5]

Oを原点とするxyz空間に点,をとる。また、z軸上の部分に、点を線分の長さが1になるようにとる。三角錐の体積をとおいて、極限
を求めよ。

解答 東大としては軽めの区分求積法の問題です。

直角三角形において、三平方の定理より、


より、
三角形の面積: 
(三角形の面積の公式を参照)

よって、

 (区分求積法を参照)
・・・@ (置換積分(その2)を参照)
被積分関数をyとおくと、
2乗して整理すると、 ・・・A
従って、@の積分は、円Aの
x軸より上側の部分とx軸の間の部分の面積、つまり、半径の円Aの面積のになります。
こうして、@の値は、
......[]

@の積分を円の面積の一部分として求める技巧は、東大では頻出の必須技巧です。必ず覚えておいてください。


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