東大理系数学'02年前期[1]

2つの放物線

が相異なる2点で交わるような一般角θ の範囲を求めよ。

解答 高校2年生の中間試験の問題としてちょうど良い問題です。

・・・@
・・・A
@,Aより、yを消去して、
展開して整理すると、
これがxについて異なる2解をもつためには、右辺が正であればよい(2次方程式を参照)

・・・B (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
より、
の範囲では、
一般角とするために、
nを整数として、を加え、(一般角を参照)
......[]

別解 @,Aの放物線は、原点に関して対称です(2次関数を参照)。@は下に凸、Aは上に凸なので、両者が相異なる2点で交わるためには、@のグラフが原点の下側を通ることが必要十分です。
よって、
これでBが得られます。



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