東工大数学'20年前期[2]

複素数平面上の異なる3ABCを複素数αβγで表す。ここでABCは同一直線上にないと仮定する。
(1) ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2XYに対し、XYとは線分XYの長さを表す。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 13乗根ω()の性質、をフル活用します。

(1) 題意の条件の下に、
ABCが正三角形 Aの周りに点B回転すると点C
ここで、なので、とおくと、
従って、
展開して整理すると、

よって、△ABCが正三角形となる必要十分条件(条件・命題複素数の図形的応用を参照)は、

(2) ABCの外接円の中心が原点Oで、円上に反時計回りにABCの順に並んでいるとして、一般性を失いません。△ABCが正三角形のとき、より、として、
また、より、より、
Pを表す複素数をpとして、,これらを使って、
 ・・・@

 ・・・A

 ・・・B
@+A+Bより、
......[]

 ・・・C
 ・・・D
 ・・・E
C+D+Eより、
......[]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  東工大数学TOP  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。