東工大数学'13前期[4]

正の整数nに対し、の範囲においてを満たすxの区間の長さの総和をとする。このとき、を求めよ。

解答 は、和を積に直す公式を利用して考えます。
いきなり、正の整数
nのまま解答しはじめても大丈夫ですが、ここでは、として状況を調べてみます。

のとき、

の範囲でとなるのはのみ。
の範囲でとなるのはのみ。

x0

0
0
00
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0



00
00
0000
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0





000
000
000000
表より、となるのは、のときで、

正の整数nに対し、の範囲においてより、
の範囲でとなるのは、 ()のときで、
の範囲でとなるのは、
()のときで、
ここで、

となることに注意します。
また、について、
において、とは同符号で、
において、とは異符号で、
よって、

 (Σの公式を参照)

......[] (数列の極限を参照)


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