東工大数学'13前期[3]

kを定数とするとき、方程式の異なる正の解の個数を求めよ。

解答 試験場で熱くなってしまうと気づきにくいですが、とおくと、です。とりあえず、関数の雰囲気をつかむためにも、簡単な数値を代入してみる、という心がけが大切だということでしょう。

 (微分の公式を参照)
となりますが、これ以外にとなるxがあるかどうか調べます。
とすると、
両辺の対数
(底:e)をとり、
 ・・・@
のとき、@は成立し、 ・・・A
においては、@より、


とおきます。を満たすx以外にあるかどうか調べます。
ここでとしてみても埒があかないので、この分子を
とおいて、さらに調べます。
とすると、
においてより減少,においてより増加
(関数の増減を参照),よって、
よって、において
これより、は、において増加関数で、
(極限の公式を参照)
ですが、これ以外に、となる
xはありません。
において
において
において
以上より、の増減表は以下のようになります。

x0
1
e

00
10
増減表より、の正の解の個数は、のとき0個,のとき1個,のとき2個,のとき3 ......[]


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