東工大数学'13前期[2]

2次の正方行列に対して、と定める。
(1) 2次の正方行列ABに対して、が成り立つことを示せ。
(2) Aの成分がすべて実数で、が成り立つとき、の値を求めよ。ただし、E2次の単位行列とする。

解答 ケーリー・ハミルトンの定理を利用して次数下げを行う問題です。

(1) とします。



 (逆行列を参照)

(2) (1)を利用して、
Aの成分はすべて実数なので、も実数です。
 ・・・@
ケーリー・ハミルトンの定理より、
より、

 ・・・A
以後、が出てくるたびに、と入れ替えます。

 ・・・B

これより、Bは、
・・・C または ・・・D
・Cのとき、 ・・・E
・Dのとき、ならとなりですが、は両立しないので不適。従ってですが、となり、 ・・・F とおけば、の形に書けます。このときは、となりますが、Fより、

このうち、では、であって、とならない(の形であればEよりになる)ので、 ・・・G
@,E,Gより、 ......[]


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