東工大数学'13年前期[2]

---

2次の正方行列に対して、，と定める。

(1) 2次の正方行列A，Bに対して、が成り立つことを示せ。

(2) Aの成分がすべて実数で、が成り立つとき、との値を求めよ。ただし、Eは2次の単位行列とする。

---

解答　ケーリー･ハミルトンの定理を利用して次数下げを行う問題です。

(1) とします。

　(逆行列を参照)

(2) (1)を利用して、

Aの成分はすべて実数なので、も実数です。
∴ 　･･･�@
ケーリー・ハミルトンの定理より、

，より、

　･･･�A

以後、が出てくるたびに、と入れ替えます。

∴ 　･･･�B

これより、�Bは、

∴ ･･･�C または ･･･�D

・�Cのとき、　･･･�E

・�Dのとき、ならとなりですが、とは両立しないので不適。従ってですが、となり、　･･･�F　とおけば、の形に書けます。このときは、となりますが、�Fより、

∴

∴
このうち、，では、であって、がとならない(の形であれば�Eよりになる)ので、　･･･�G

�@，�E，�Gより、， ......[答]

---

　　　東工大数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元