東工大数学'13前期[1]

(1) 2次方程式2つの解αβ に対し、はすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を規約分数で表せ。

解答 (1)は類題が'86[1]にあります。(2)は難しくないですが、丁寧に場合の数を調べる必要があります。

(1) 2次方程式の解と係数の関係より、 ・・・@
のとき、@より、,これは5整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、@より、
これは5の整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、5の整数倍であると仮定します。pqを整数として、
 ・・・A
とおけます。@,Aを利用して、

5の整数倍であって、のときにも与えられた命題は成り立ちます。
以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数nについて5の整数倍になります。
別解.3項間漸化式の特性方程式がになることを利用すれば、3項間漸化式を考えることもできます。
とおくと、


 ( )
5の整数倍で、pqを整数として、であれば、
5の倍数です。

(2) 6個のさいころを投げるとき、各々の目の出方は、通りあります。
ちょうど4種類の目が出るのは、(i) 6個のうち3個が同じ目で、他の3個が互いに異なり、かつ、同じ目の3個とも異なる。か、(ii) 6個のうち2個が同じ目で、2個がこれとは異なる同じ目で、他の2個がこの2種の目と異なり、かつ、互いに異なる目になる。場合です。
(i)のとき、4種類の目の選び方が通り。6個のうち同じ目になる3個の選び方が通り。4種類の目の並び方が、通り。通りあります。
(ii)のとき、4種類の目の選び方が15通り。6個のうち同じ目になる2組の2個のさいころの選び方が、通り(2組は区別できない)4種類の目の並び方が24通り。通りあります。
求める確率は、
......[]


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