東工大数学'11年前期[3]

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定数kはをみたすとする。xy平面上の点Aを通りx軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を、2点X，Yがをみたしながら動いている。原点Oを中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき、△OPQの面積の最大値をkを用いて表せ。

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解答　最終的にの形が出てきますが、2次方程式の解の配置を考えることにより最大値を求めることができます。

，とすると、，Y
より、　･･･�@
X，Yは第1象限の点なのでより、
また、で、△OPQの面積Sは、

　(三角形の面積を参照)

と�@より、

　･･･�A

とおくと、であって、�@より、

より、

　(∵ �@)

より、
これらを�Aに代入して、

とおくと、であって、根号内を抜き出して、

　･･･�B

とおきます。です。分母を払って整理すると、

　･･･�C

とおくと、
uの2次方程式�Cが、の範囲に実数解をもつ条件は、なので、�Cの判別式D，軸位置：について、

判別式：

　･･･�D かつ

軸位置：　･･･�E

ここで、より、に注意すると、
�Dより、，
�Eより、，
を考慮して、

�D かつ �E ⇔

これより、Sの最大値は、 ......[答]

注．Sが最大となるのは、のときですが、このとき、方程式�Cが重解：

をもち、このとき、です。

別解．�Bのをuの関数と見て微分すると、

において増減表は、

u	0
		＋	0	−
p

増減表より(関数の増減を参照)、のときにpは最大値をとります。

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