東工大数学'09年前期[2]
実数aに対し、次の1次変換
を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。
(1) Lは点を通る。
(2) 点QがL上にあれば、そのfによる像もL上にある。
解答　‘97年の入試まで頻出であった不動直線の問題ですが、1次変換の行列表現を与えて不動直線を求めよ、というのではなく、不動直線をもつ条件を求めよ、という問題になっています。

(1)の条件より、直線Lを、 (kは実数の定数)またはと表すことができます。
(i) 直線Lがの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L：上の点になるので、
整理して、
t は任意の実数なので、
　(恒等式を参照)
とすると、なので、
よって、，つまり、となりますが、
とすると、なので、
とすると、
∴ 　(このとき、L：)
(ii) 直線Lがの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L：上の点になるので、
t は任意の実数なので、
(i)，(ii)より、 ......[答]
追記．行列が表す1次変換で、直線： ()，直線：上の点が、各々、もとの直線上に移る条件を考えてみましょう。
直線：上の点の座標は、tを実数として、とおけます。
　(この場合はとします)
より、移った先の点が再び直線：上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、より、


bをかけて整理すると、
　･･･①
これは、Aの固有値を求める方程式：
において、としたであって、Aが固有値1を持つことを意味しています。
直線：上の点の座標は、tを実数として、をおけます。
より、移った先の点が再び直線：上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、
(i) ，の場合は①に含まれます。つまり、Aが固有値1を持ちます。
(ii) ，の場合は、の形であればよいことになります。
(i)は、本問では、
∴
(ii)は、本問では、Aの成分として、

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