東工大数学'08年前期[4]

平面の原点Oを端点とし、x軸となす角がそれぞれ、α (ただし)である半直線をとする。上に点P上に点Qを線分PQの長さが1となるようにとり、点Rを、直線PQに対し原点Oの反対側に△PQRが正三角形になるようにとる。
(1) 線分PQx軸と直交するとき、点Rの座標を求めよ。
(2) 2PQが、線分PQの長さを1に保ったまま上を動くとき、点Rの軌跡はある楕円の一部であることを示せ。

解答 回転移動については、1次変換を参照してください。

(1) PQx軸との交点(PQの中点)Mとします。です。より、
 (より)
このとき、Rx軸上の点で、
Rの座標は、

(2) とすると、PQの座標は、
また、より(内積を参照)
 ・・・@
Qを点Pのまわりに回転すると点Rに来ます。
を原点のまわりに回転すると、
より、
これを、始点が原点から点Pにくるように平行移動すると、終点が点Rに来ます。

 (三角関数の合成を参照)
として、
@式を用いて、pqを消去すると、
より、は、0ではない有限な値の定数なので、Rの軌跡は楕円の一部です。


   東工大数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元