東工大数学'07年前期[4]

(1) 整数と正数に対して
   
とおく。
2つの曲線が接するようなを求めよ。
(2) (1)で定めたものとする。y軸で囲まれる図形の面積をに対しで囲まれる図形の面積をとおく。このとき
   
を求めよ。

解答 最終解答はかなりゴタつきますが、考え込むようなところはなく、ただひたすら計算するだけです。最後の部分だけ、はさみうちでちょっと味付けする必要があります。
(1) 導関数は、
導関数は、
において、2つの曲線が接するとして、
y座標同士を等しいとおき、
 ・・・@
接線の傾きを等しいとおき、
 ・・・A
@,Aより、を消去し、より、
展開して整理すると、
 ・・・B
Aより、
(複号同順)
より、ここでは複号はマイナスをとります(Bでは、プラスをとる)
よって、
また、
......[]

(2) 以後、簡単のため、とします。
(1)より、は、において、接します。
右図より、は、曲線
y軸、x軸、直線で囲まれる部分の面積から、曲線,・・・,x軸で囲まれる部分の面積,及び、曲線x軸、直線で囲まれる部分の面積を引いたものになります。

 (定積分の公式を参照)
また、より、について、
従って、
として、
ここで、とすると、は定数であり、 (関数の極限を参照)より、

よって、はさみうちの原理により、
......[]


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