東工大数学'07年前期[2]

正数aに対して、放物線上の点Aにおける接線を、Aを中心に回転した直線をとする。との交点でAでない方をBとする。さらに点C,原点をOとする。
(1) の式を求めよ。
(2) 線分OCCAで囲まれる部分の面積を,線分ABで囲まれる部分の面積をとする。このとき
   
を求めよ。


解答 一見して何の変哲もない、計算力だけを見る問題なのですが、よくできていて、出題者のセンスの高さを感じさせてくれる傑作問題だと思います。計算は面倒ですが、自らの手を動かして計算し、解答が求まったら、ぜひ、感動してください。苦労してこその感動です。きっと、数学が好きになるでしょう。
(1) 放物線について、
における放物線の接線の傾きは
の傾きを
mとして、題意より、であって、接線とのなす角がであることから、
 (正接の加法定理を参照)
より、


よって、の方程式は、
 (直線の方程式を参照)
整理して、 ......[]

(2) の方程式とを連立すると、
Aで交わることから、この2次方程式には、という解があることはわかっています。

よって、Bx座標bは、

 (定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)
ここで、のとき、
より(関数の極限を参照)
......[]


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