東工大数学'07年前期[2]
正数aに対して、放物線上の点Aにおける接線を、Aを中心に回転した直線をとする。ととの交点でAでない方をBとする。さらに点をC，原点をOとする。
(1) の式を求めよ。
(2) 線分OC，CAとで囲まれる部分の面積を，線分ABとで囲まれる部分の面積をとする。このとき
　　　
を求めよ。
解答　一見して何の変哲もない、計算力だけを見る問題なのですが、よくできていて、出題者のセンスの高さを感じさせてくれる傑作問題だと思います。計算は面倒ですが、自らの手を動かして計算し、解答が求まったら、ぜひ、感動してください。苦労してこその感動です。きっと、数学が好きになるでしょう。
(1) 放物線について、
における放物線の接線の傾きは
の傾きをmとして、題意より、であって、接線とのなす角がであることから、
　(正接の加法定理を参照)
より、

∴
よって、の方程式は、
　(直線の方程式を参照)
整理して、 ......[答]

(2) の方程式とを連立すると、
とがAで交わることから、この2次方程式には、という解があることはわかっています。
∴
よって、Bのx座標bは、

　(定積分と面積を参照)
　(定積分の公式を参照)
ここで、のとき、
より(関数の極限を参照)、
∴ ......[答]

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