東工大数学'06年前期[2]

以下の問に答えよ。
(1) abを正の定数とし、とおく。における関数の増減を調べ極値を求めよ。
(2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
(a) ; (b) すべてのに対し
を満たす点からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。
(3) (2)の領域Dの面積を求めよ。

解答 標準的な微積分の計算問題です。計算ミスによく注意してください。

(1)  (微分の公式を参照)
とすると、より、
t0


0

増減表より、において減少、において増加で、において極小値: ......[] (関数の増減を参照)

(2) (b)の条件から、として(1)を利用すると、の最小値m以上であればよいので、(a)の条件より、両辺にxをかけて整理すると、


 ・・・@

(a)の条件を加味するために、xの大小関係を調べます。
これは、,つまり、のときに負、のときに正で、
のときにのときに

として、曲線を調べます。
 (微分の公式積の微分法を参照)
とすると、
概形を図示するだけなので、通常は増減を調べれば十分ですが、ここでは、における曲線の挙動を確認するために、凹凸も調べることにします
(関数の凹凸を参照)
とすると、
x0



0

0
0
増減表より、曲線と直線は、が極大となる点で交わることがわかります。
以上より、求める領域
Dは、右図斜線部(曲線上のの部分を含み、直線上を除く)

(3) 直線と直線x軸で囲まれる三角形の面積は、
曲線と直線x軸で囲まれる領域の面積(定積分と面積を参照)は、
 (部分積分法を参照)


求める面積は、
......[]


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