東工大数学'06年前期[1]

以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対しを求めよ。
(2) 次の不等式を示せ。
 ()
(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数をで表す。が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

解答 (1)(2)は教科書の例題レベルの問題ですが、(3)はガウス記号まで登場するので複雑そうに見えます。実は、(3)も、B式を利用して積分区間を分けてしまえば、(1)(2)が利用できる形になります。結局、n:奇数のとき、というだけのことなのですが、この奇数nと書いて、などとすると、難問に見えてしまうのが不思議です。なお、三角関数絶対値を含む積分を参照してください。

(1) は周期π の周期関数(三角関数のグラフを参照)で、ゆえ(の積分は、不定積分の公式を参照)
......[]

(2) 関数のグラフは、において上に凸(関数の凹凸を参照)なので、原点を結ぶ直線:から上側にあります。
従って、において、
とおくと、において、
 ・・・@
また、より、
 (定積分と不等式を参照)
両辺からsを引いて、
 ・・・A
@,Aより、

(3) 与不等式中の積分について、とおくと、tのとき、x
 (置換積分を参照)
とおくと、 () ・・・B
Bを用いて、定積分
Iの積分区間を分けると、
 ・・・C
C式のカッコ内の第1項の積分は、(1)において、と考えると、
が奇数であるとき、 ()となるxについて、とおくと、であって、
より、
C式のカッコ内の第
2項の積分は、
(2)より、
よってCより、 ・・・D
左辺は、Bより、
D式各辺から
1を引いて、
 ・・・E
E式の右辺は、Bを用いて、



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