東工大数学'05年前期[3]

Dを半径1の円盤、Cxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトルと直交する。

解答 形状がつかみにくい立体の体積を求める問題では、無理に立体の形状を追求せず、ある軸に垂直な平面で立体を切ってその断面積を考え、断面積を軸に沿って積分します。

この問題では、
z軸に垂直に立体Kを切るのが素朴で取っつきやすいでしょう。
円板の中心が
Pにあるとき、条件(b)より、円板は平面 ・・・@ 上にあって、これをzx平面上までy軸と平行に平行移動させると、円: ・・・A になります。

ところで、
Dの通過する部分にできる立体Kxy平面、yz平面、zx平面に関して対称なので、の部分のKの体積を考えて、8倍することにします。

上記
θ の範囲で考え、立体Kz軸に垂直な平面()で切ったときの切り口を考えます。
まず、
Pに中心がある円盤Dを平面で切ってみます。
Aでとして、
・・・B
これより、切り口は、両端をとする線分です。この線分の長さは
(kにのみ依存し、θ には依存しない)で、その中点は、円Cを平面上にまで平行移動させた円周上にあります。結局、円盤Dを平面で切った切り口をxy平面上まで平行移動させると、右図斜線部のようになります。
右図の円弧
EIは、円Cの部分です。
Bでとすると、
( 1象限で考えている)より、,@より、このとき、()
つまり、右図の点Dです。
@でとすると、,Bより、このとき、
つまり、右図の点
A,点Jです。
@でとすると、,Bより、このとき、
つまり、右図の点
B,点Fです。
斜線部の境界線の弧
ADは、xy平面上の円C上を点Pとなるように動くとき、Px軸負方向にだけ平行移動させた点の描く曲線なので、Cを中心とする半径1の円弧です。同様に、右図の弧FJは円弧EIx軸正方向にだけ平行移動させた曲線で、Hを中心とする半径1の円弧です。
また、とおくと、

・・・C
断面積、即ち、右図斜線部の面積は、扇形
HFJの面積(扇形OEIの面積)、長方形OEFHの面積の和から、xy軸円弧ADで囲まれる面積(扇形CADの面積から三角形CODの面積を除いたもの)を引いたものになります。
扇形
OEIの面積は、半径1の円の面積の,長方形OEFHの面積は,扇形CADの面積は
三角形
CODの面積は
・・・D
求める体積
Vは、
Dの
φ を含む項は、kで積分することができないので、Cより、とおいて置換積分します。
kのとき、φ
よって、


は、とおくと、より、半径1の円の面積のに等しく、
 (部分積分法による)
は、とおくと、φ
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