東工大数学'05年前期[1]

eを自然対数の底とし、数列を次式で定義する。
()
(1) のとき、次の漸化式を示せ。
(2) に対しなることを示せ。
(3) のとき、以下の不等式が成立することを示せ。

解答 (1) 定積分で表された数列の漸化式に関する問題です。
このタイプの問題では、普通は部分積分によって漸化式を導きます。
この問題でも部分積分することを考えます。
被積分関数は、と見て、
1として部分積分を行います。のとき、


・・・@ (という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります。)
番号を1つずらして、 ・・・A (の係数がnでなく、となることに注意すること。また、という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります)
@−Aより、 ()
()

(2) 関数は、において、でのみで、においては,よって、
()

また、においてのみ ()であり、
においてより、

以上より、のとき、

(3) (1)(2)とからに関する関係を作って数学的帰納法というストーリーになるだろうと見当をつけます。
だとすると、
のようになるので、
という形の不等式を作ることを目標にします。
また、 
(不定積分の公式を参照)

(1)
の結果においてnに置き換えると、
() ・・・B
の関係を調べることになりますが、Bのが邪魔になります。
これを消すために、
(2)nに置き換えて、,従って、
Bに適用すると、
・・・C

Cを用いて、数学的帰納法により与不等式を示します。

(T) のとき、@を用いて、


の大小関係を比べればよいのですが、
1次方程式:を解くと、なので、
を満たす数として、例えば、をもってくると、であって、


よって、のとき、与不等式が成り立ちます。
(U) のとき、与不等式が成り立つと仮定する。このとき、
が成り立ちます。
Cより、
よって、のときも、与不等式が成り立ちます。

(T)(U)より、のとき、与不等式が成り立ちます。
注.結局、Cを繰り返し用いれば、
となっています。


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