東工大数学'04年前期[4]

とする。空間において、点を中心とする半径rの球と点を中心とする半径の球との共通部分の体積をとする。次の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) rの範囲を動くとき、を最大にするrの値及びの最大値を求めよ。

解答 (1)の結果を見ると、これを微分するというだけでゾっとしますが、東工大の学生は根性でクリアせよ、ということなのでしょうか?

(1) 題意の共通部分は右図斜線部をx軸のまわりに回転させたものになります。
両円の2交点を通過する直線の左側と右側に分けて体積を考えます。
左側の体積を,右側の体積をとします。

を中心とする半径
rの円: ・・・@
を中心とする半径の円:
・・・A
@の円から内側の部分、Aの円から内側の部分、両者の共通部分を
x軸のまわりに回転させた立体の体積がです。
@,Aを連立して交点の
x座標を求めると、@−Aより、
・・・B

Bで求められた交点の
x座標をtとして、@の円で囲まれる領域のうち、の部分をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積は、

・・・C

Bよりなので、は、Cにおいてとすることにより、

を、Aの円で囲まれる領域のうち、の部分をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積として求めようと考えると、定積分の計算がかなり面倒になります。
も形状としては実質的にと変わりません。そこでCを利用することを考えます
(実は、そのために、積分範囲をとしないで、としておいたのですが)

Aの中心がに来るように、@とAの円を
x軸負方向に1だけ平行移動させ、さらに、y軸に関して対称移動させ、@とAの位置関係を逆にして考えます。
@とAの交点を
x軸負方向に1だけ平行移動すると、交点のx座標はからとなり、y軸に関して対称移動させると、交点のx座標はとなります。

そこで、Aの半径はなので、
rに置き換え、として、を考えます。

 ......[]

(2)  (微分の公式を参照)



分母は、において、より、正です。
従って、増減表は以下のようになります
(関数の増減を参照)
r0

1

0
00
これより、のとき、最大値: ......[]


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