東工大数学'04年前期[1]

abを正の実数とする。
(1) 区間における関数の増減を調べよ。
(2) 区間における関数のグラフと相異なる3点で交わるx軸に平行な直線が存在するための必要十分条件を求めよ。

解答 (2)では、「必要十分条件」という言葉に注意してください。なお、微分法の方程式への応用(2)を参照してください。

(1) を微分すると、 (商の微分法)
より、
区間においてよりは減少、
において、は極小値:をとり、
区間においてよりは増加する。
......[]
また、 ・・・@

(2)
が出てくるので(1)との結びつきを考えます。でくくればが姿を現します。
(2)でも区間を考えているので、(1)の検討がそのまま使えます。(1)で考えたの増減より、極小値との大小関係により場合分けします。

(i) のとき、において、つねにとなります。よって、より、単調減少で、この範囲でのグラフと相異なる3点で交わるx軸に平行な直線は存在しません。

(ii) のとき、において、@より、を満たすx2個存在し、それらをαβ とする()と以下のような増減表が得られます。
x a
α
β
×00
×


と増減表より、のときはのときはとなるようにkをとれば、直線:と曲線:とは、にそれぞれ1交点ずつもつ(グラフの概形を描いて確認してください)から、確かに題意を満たす直線が存在します。
以上より、求める必要十分条件は、
......[]

必要十分条件を求める問題なので、(ii)だけ調べたのでは不十分解になってしまいます。の場合にも、相異なる3交点を有する場合があるかも知れないからです。
DC必要十分条件というときは、題意の条件Cを満たすもの「すべて」が条件Dを満たしている(DCの必要条件)ことが言えて、しかも、その条件Cを満たすとき「だけ」(DCの十分条件)条件Dが成立する(条件Cを満たさないのであれば条件Dは成立しない)と言えなければいけません。


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