東工大数学'03年前期[3]

において、辺ABの中点をM,辺ACの中点をNとする。辺ABx ()の比に内分する点Pと、辺ACy ()の比に内分する点Qをとり、線分BQと線分CPの交点をRとする。このとき、Rに含まれるようなの全体をxy平面に図示し、その面積を求めよ。(ただし、辺AB,辺AC01の比に内分する点とは、ともに点Aのこととする。)

解答 まず、のとき、点Qは点Aと一致します。このとき点Rは点Pに一致します。
Rに含まれるためには、R,つまりPが線分AM上にあればよく、 ・・・@

のとき、

メネラウスの定理より、

よって、Rは線分PCの比に内分する点であり、より、
 (ベクトルの内分・外分を参照)
より、
より、
ここで、Rに含まれるために(平面ベクトルの応用を参照)
・・・A
かつ、
・・・B
かつ、
・・・C

より、B,Cは成立しています。
Aで分母を払うと、
整理して、
・・・D

のとき、Dの左辺は
0ですが、右辺はで成立しません。よって、
のとき、
よってDより、となり、を満たしません。
従って、のとき、Dより、

のときも含めて、かつかつ
・・・E
境界線のは漸近線:を有する
直角双曲線で、Eを図示すると右図斜線部(境界線上を含む)

この面積は、
 (不定積分の公式を参照)
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