東工大数学'02年前期[4]

nを自然数とする。
(1) 次の極限を求めよ。
(2) 関数の極値を与えるxの最小値をとする。このとき
およびを示せ。
(3) (2)に対して、極限
を求めよ。

解答 (1)のA式は階段型関数の技巧を用いて、右図で、
緑線から内側の面積≦赤線から内側の面積≦青線から内側の面積
を考えれば、すぐに得られます。
(2)は、n次方程式については、高次方程式、背理法については証明の技巧を参照してください。

(1) において、より、
・・・@
のとき、において、より、

各辺をについて加え合わせて、
@より、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えても不等式は成り立ちます。
 ・・・A (定積分と面積を参照)
 (不定積分の公式を参照)
より、
各辺をで割って、
のとき、
 (不定形の極限を参照)
従って、はさみうちの原理により、
......[]

(2) 次関数です。次方程式:は、を解にもちます。
また、n次関数で、のグラフを考えると、は、,・・・,の各範囲に極値を1個ずつもつので、n次方程式:は、,・・・,の各範囲に解を1個ずつ、全部でn個もちます。これ以外には、の解はありません。
ということは、関数の極値を与える
xの最小値は、における解であって、
 ・・・F
が成り立ちます。

のとき、

Fより、は、であるような解をもっていて、より、
・・・G

ここで、と仮定すると、Gの左辺について、ですが、Gの右辺について、であり、,・・・,ですから、Gの右辺が、
となり、等式Gが成立し得なくなります。ということは、とした仮定は誤りです。Fと合わせて、
・・・H

(3) Hより、
,・・・,
よって、
,・・・,
従って、辺々加えあわせると、
右辺については、

各辺をで割ると、
ここでとすると、(1)より、

よって、はさみうちの原理より、
......[]

東工大は、はさみうちの原理をうまく使うことで極限を求める問題が多いのですが、ちょっと見ると手のつきにくい極限の問題を、より簡単な極限に置き換えて考えてゆく、というのがテーマになっています。難問を難問のまま向き合わないで、より解きやすい形に直して考えようという発想が問われます。本問も雄大な構想を立てるようになっていますが、適宜ヒントに乗ってうまく解ければ、爽快な感じがする問題です。


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