東工大数学'02年前期[2]

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楕円の外部の点Pから引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。

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解答　受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。

楕円の方程式の分母を払うと、

･･･�@

この楕円に、点Pから引いた2本の接線は、の場合には、

･･･�A

の形に書くことができます。
の場合には2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。

の場合、�Aを変形して、

これを�@に代入します。以後の式変形では、を一くくりにして行うようにしてください。

展開して整理すると、

･･･�B

これをxに関する2次方程式と見なすと、�@と�Aは接するので、�Bは重解をもちます。

�Bの判別式：　(2次方程式の一般論を参照)

展開します。

整理すると、

これをmに関する2次方程式と見て、

･･･�C

と変形します。
楕円には点Pから2本の接線が引けるのですが、これは、2次方程式�Cが2つの異なる解，をもつことを意味しています。
題意では、この2本の接線は直交すると言っています。
2本の接線の傾きは�Cの解、，ですが、直交するので、が成り立ちます(2直線の平行・垂直を参照)。
これは、�Cの2解の積がだと言っているわけで、解と係数の関係を用いて、

(ここではです)

分母を払って整理すると、

･･･�D

これは、点Pが原点を中心とする半径5の円周C上の点であることを意味しています。

はじめの方で、の場合を別扱いにしていましたが、のとき、2本の接線が垂直になるのは、、つまりのときです。この場合もは�Dを満たすので、点Pは円周C上の点であって、これで、円周C上の点全てになります。

以上より、点Pの軌跡は、原点を中心とする半径5の円周 ......[答]

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