東工大数学'02年前期[2]

楕円の外部の点Pから引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。

解答 受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。

楕円の方程式の分母を払うと、
・・・@
この楕円に、点Pから引いた2本の接線は、の場合には、
・・・A
の形に書くことができます。
の場合には
2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。

の場合、Aを変形して、

これを@に代入します。以後の式変形では、を一くくりにして行うようにしてください。
展開して整理すると、
・・・B
これをxに関する2次方程式と見なすと、@とAは接するので、Bは重解をもちます。
Bの判別式: (2次方程式の一般論を参照)
展開します。
整理すると、
これをmに関する2次方程式と見て、
・・・C
と変形します。
楕円には点
Pから2本の接線が引けるのですが、これは、2次方程式Cが2つの異なる解をもつことを意味しています。
題意では、この
2本の接線は直交すると言っています。
2本の接線の傾きはCの解、ですが、直交するので、が成り立ちます(2直線の平行・垂直を参照)
これは、Cの
2解の積がだと言っているわけで、解と係数の関係を用いて、
(ここではです)
分母を払って整理すると、
・・・D
これは、点Pが原点を中心とする半径5の円周C上の点であることを意味しています。

はじめの方で、の場合を別扱いにしていましたが、のとき、
2本の接線が垂直になるのは、、つまりのときです。この場合もはDを満たすので、点Pは円周C上の点であって、これで、円周C上の点全てになります。

以上より、点
P軌跡は、原点を中心とする半径5の円周 ......[]


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