東工大数学
'02
年前期
[2]
楕円
の外部の点
P
から引いた
2
本の接線が直交するような点
P
の軌跡を求めよ。
解答
受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。
楕円
の方程式の分母を払うと、
・・・@
この楕円に、点
P
から引いた
2
本の接線は、
の場合には、
・・・A
の形に書くことができます。
の場合には
2
本の接線の片方が
x
軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。
の場合、Aを変形して、
これを@に代入します。以後の式変形では、
を一くくりにして行うようにしてください。
展開して整理すると、
・・・B
これを
x
に関する
2
次方程式と見なすと、@とAは接するので、Bは重解をもちます。
Bの判別式:
(
2
次方程式の一般論
を参照
)
展開します。
整理すると、
これを
m
に関する
2
次方程式と見て、
・・・C
と変形します。
楕円には点
P
から
2
本の接線が引けるのですが、これは、
2
次方程式Cが
2
つの異なる解
,
をもつことを意味しています。
題意では、この
2
本の接線は直交すると言っています。
2
本の接線の傾きはCの解、
,
ですが、直交するので、
が成り立ちます
(
2
直線の平行・垂直
を参照
)
。
これは、Cの
2
解の積が
だと言っているわけで、
解と係数の関係
を用いて、
(
ここでは
です
)
分母を払って整理すると、
・・・D
これは、点
P
が原点を中心とする半径
5
の円周
C
上の点であることを意味しています。
はじめの方で、
の場合を別扱いにしていましたが、
のとき、
2
本の接線が垂直になるのは、
、つまり
のときです。この場合も
はDを満たすので、点
P
は円周
C
上の点であって、これで、円周
C
上の点全てになります。
以上より、点
P
の
軌跡
は、原点を中心とする半径
5
の円周
......[
答
]
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