2次方程式の解の配置    関連問題

2次方程式2解に関する条件から、abcに関する条件を求める問題があります。
2次方程式の解と係数の関係を用いて簡単に解決できる場合もありますが、多くの場合は解そのものを見ていくと煩雑になりやすいのです。
こうした場合には、以下に示すようなグラフに注目する技巧を知っていると便利です
(なお、2次方程式の一般論参照)

2次方程式: () ・・・@ 2実数解がαβ ()だとします。です。
このとき、@の判別式:
・・・A が成立します。
また、
2実数解がともにγよりも大きければ、のグラフの軸:は、の間に来るので、軸の位置についても、 ・・・B が成り立ちます。
しかしながら、AとBだけでは不十分です。
のグラフが右図の青線のようになってしまう場合、グラフと
x軸との交点のうち左側のものの位置を見ると、になっています。
となるためには、右図の赤線のように、のグラフがの位置においては、既に
x軸の上側を通過していなければなりません。
つまり、解の存在範囲の端点における条件:
・・・C という条件も必要です。
逆に、AかつBかつCが成り立つときに、のグラフは
x軸との部分で交わるので、@の2実数解はともにγよりも大きくなります。

以上のように、
2次方程式の解に関する条件を、「判別式、軸の位置、端点の関数値」の3つの条件を押さえることにより考察することができます。
2次方程式の解の配置の問題では、「判別式、軸の位置、端点の関数値」を考えると覚えておいてください。

2次方程式: ()2実数解がともにの範囲に存在する条件を求めるときには、
右図より、
判別式:
軸の位置:
端点の関数値:かつ
を考えることになります。

類似の問題で、だとして、
2次方程式: ()の一方の解が,他方の解がに存在する条件を求めるときには、かつを考えるだけですみます。判別式と軸の位置を確認する必要はありません。
なぜなら、のグラフは、をどんどん大きくしていくと、
x軸から遙かに上方の方へと伸びていきます。であれば、のグラフはの部分でx軸と交わります。また、であれば、のグラフはの部分でx軸と交わります。つまり、の一方の解は,他方の解はに存在します。

例.
2次方程式:を考える。
(1) 相異なる2解がともに1より大であるとき、実数pに関する条件を求めよ。
(2) 1解が1より小さく、1解が3より大きいとき、実数pに関する条件を求めよ。
(3) 相異なる2解がともに0よりも大きく1よりも小さいとき、実数pに関する条件を求めよ。

(1) 判別式:より、 ・・・@
軸:より、
・・・A
端点の関数値:より、 ・・・B
@かつAかつBより、
.......[]

(2)
より、 ・・・C
より、
・・・D
CかつDより、
......[]

(3)
判別式:より、 ・・・E
軸:より、
・・・F
端点の関数値:かつより、
・・・G
EかつFかつGより、
......[]


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