無限級数    関連問題

この項目では、数列の極限を参照してください。
数列に対して、その各項を加え合わせたものを
級数と言う。
初項がで、有限個
(n)の項からなる数列の各項を加え合わせたものを有限級数と言い、有限級数は数列の和:にほかならない。
初項がで、無限個の項からなる数列の各項を加え合わせたものを
無限級数と言い、と書く。
無限級数に対して、第
n項までの和:部分和と言う。
数列について、のとき、がある値
Sに近づくとき、つまり、となるとき、無限級数S収束するという言い方をする。また、Sを無限級数と言う。
が発散するとき、
無限級数発散するという言い方をする。このときには、無限級数は和をもたない。

1が和をもつなら和を求める。
[解答] 部分和:
 
のとき、より、
よって、無限級数は和をもち、
......[]

2が和をもつなら和を求める。
[解答] 部分和:
 
 
 
 
のとき、より、
よって、無限級数は、和をもたない。


無限級数が収束する ⇒ は真ですが、
 ⇒ 無限級数が収束するは偽です。(条件・命題を参照)
なぜなら、無限級数αに収束するとき、部分和;について、のとき、であり、また、
従って、

 ⇒ 無限級数が収束するの反例は、例2で取り上げた、です。
ですが、例
2で見たとおり、無限級数は収束しません。


khを実数として、のとき、


[証明] それぞれの無限級数の部分和を、とします。
 
(Σの公式を参照)
 (数列の極限を参照)
 (証明終)

3が和をもつなら和を求める。
[解答] 
ここで、はともに収束するので、
 
(無限等比級数を参照)
  ......[]


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