置換積分(その2)    関連問題

この項目は、不定積分の公式置換積分を参照してください。

の場合では、とおくと、うまくいくことがあります。

1
とおくと、

xのとき、θ

 

2
根号内を
平方完成します。

とおくと、

xのとき、θ?

 
 
 
 
 

[別解] 置換積分の定石通りやれば上記の通りなのですが、入試会場では時間の制約もあるので、以下のような方針で答案を作成してください。
の両辺を
2乗して整理すると、となるので、被積分関数はを中心とする円のx軸から上側の部分であって、積分は、この円のの部分とx軸の間に挟まれた領域(右図緑色の部分)の面積に相当します。
右図で、半径
2,中心角の扇形の面積と、底辺1,高さの直角三角形の面積を加えることにより、


として、を考えます。
とおくと、
xのとき、θ より、

となりますが、なので、
であれば、
xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、として、は正弦関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正弦が
tになるときの角がです。
,つまり、

です。
では、なので、のとき、
逆関数の微分法により、

となることに注意してください。

の場合は、とおくと、うまくいくことがあります。

3

とおくと、

xのとき、θ より、

 

として、
を考えます。
とおくと、

xのとき、θ より、

となりますが、なので、
であれば、
xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、として、は正接関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正接が
tになるときの角がです。
,つまり、

です。
のとき、
逆関数の微分法により、

となることに注意してください。



   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元