置換積分　　　　関連問題
この項目では、不定積分の公式を参照してください。
また、
但し、とおいた。，として、x：のとき、t：(，)，
また、のとき、だとして、においては連続，，だとする。
証明　 だとすると、
合成関数の微分法の公式より、
をxで微分すると、
∴
をxで微分すると、になる、ということは、をxで積分するとになるということです。
つまり、 ()
∴
また、　(証明終)

積分の計算は微分の計算と違って、必ずできるという保証がないのです。例えば、のとき、
という形の積分は、指数関数や三角関数では表せないことが知られています。

ですが、そのままの形では積分の計算ができなくても、文字の置き換えを行うことにより、積分の計算が行える場合があります。
という形をしていて、計算のできない積分があった場合に、とおくと、
そこで、積分の中のをで置き換えて、xに関する積分をtに関する積分に直してしまうことができます。
定積分の場合には、積分範囲のはxに関する範囲なので、tに間する積分に直す場合には、，として、x：のとき、t：なので、
この形に直すと積分が計算できる場合があります。ただし、置換積分は、いつもうまくいくとは限らないことに注意してください。

という形の積分は、とおくと、うまくいくことがあります。

例1　
とおくと、　∴
x:：のとき、t：
∴

の場合には、とおいて、xについて解いてから、を求めます。

例2　
とおくと、，，　∴
x：のとき、t：
∴

の場合には、とおくと、　∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

の場合には、とおくと、　∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

例3　
とおくと、，
θ：のとき、t：
∴

の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

例4　
とおくと、，
x：のとき、t：
∴
さらに、とおくと、
t：のとき、u：
∴

の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

例5　
　(∵ )

∴
第1項の積分は、とおくと、　∴
θ ：のとき、t：より、
第2項の積分は、
第3項の積分は、
以上より、

注意　上記の置換積分で、という形をしている積分では、文字の置き換えが面倒なので、として、
　(C：積分定数)
というような書き方をすることがあります。を固まりとして文字のように思って積分の計算をします。
以下のように、定積分のときには、，として、積分範囲を入れかえる必要がないので便利です。
これを、高校の教科書風に計算を書くのであれば、とおいて、，x：のとき、t：より、
となります。

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