重複組み合わせ    関連問題

異なるn種類のものから各種類の重複を許してr個とる重複組み合わせの数は、通り。

参考書では、「異なる
n個のものから重複を許してr個とる」と書かれていますが、「異なるn個」というよりも「異なるn種類」と理解してください。

r個のものを''で表すと、異なるn種類のものがあるので、以下のように、r個の''の間にしきい''個入れて、全部で個の位置の中のどのr個の位置に''を入れるか、と、考えれば、場合の数が通りあることが理解できると思います。

重複組み合わせで考えられる問題には、いろいろなパターンがあります。いずれも、3種類のものが繰り返し出てきて計10回で、それぞれの種類が何個ずつあるかという組み合わせの数です。特徴をよくつかんでください。
(1) りんご、かき、みかん、3種類のくだものを全部合わせて10個取るときの取り方は、通り。
(2) 大、中、小の3枚の皿に、お菓子を計10個置くときの置き方は、通り。
(3) 10個のボールに、赤、青、黄の3種類の色を塗るときの塗り分け方は、通り。
(4) を展開して同類項をまとめて整理したときの項の数は、項。
(5) 0以上の整数xyzについて、方程式:を満たす解の個数は、個。
(6) 右図のような碁盤目状道路をAからBまで最短経路で進むときの進み方は、一条通り、二条通り、三条通りで合わせて10回右に進めばよいと考えると、通り。
(7) 候補者3人を10人の人が1票ずつ投票して選挙するときの票の出方は、通り。
(8) サイコロを10回振るとき、サイコロの目を3で割った余りの出方は、通り。
上記は、いずれも以下のように、10個の''の間に個の''を入れて、合わせて個の位置の中のどの10個の位置に''を入れるか(あるいは、どの2個の位置に''を入れるか)と考えると、通りと考えることに納得がいくと思います。(1)として、各種類の数を書いておきます。
||○○○○○○○○○○ りんご0個、かき0個、みかん10
|○|○○○○○○○○○ りんご
0個、かき1個、みかん9
|○○|○○○○○○○○ りんご
0個、かき2個、みかん8
   ・・・・・・
|○○○○○○○○○|○ りんご
0個、かき9個、みかん1
|○○○○○○○○○○| りんご
0個、かき10個、みかん0
○||○○○○○○○○○ りんご
1個、かき0個、みかん9
○|○|○○○○○○○○ りんご
1個、かき1個、みかん8
○|○○|○○○○○○○ りんご
1個、かき2個、みかん7
   ・・・・・・
○|○○○○○○○○|○ りんご
1個、かき8個、みかん1
○|○○○○○○○○○| りんご
1個、かき9個、みかん0
○○||○○○○○○○○ りんご
2個、かき0個、みかん8
○○|○|○○○○○○○ りんご
2個、かき1個、みかん7
   ・・・・・・
○○|○○○○○|○○○ りんご
2個、かき5個、みかん3
   ・・・・・・
○○○○○○○○○|○| りんご
9個、かき1個、みかん0
○○○○○○○○○○|| りんご
10個、かき0個、みかん0


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