2次関数    関連問題

標準形:

2次式で表される関数2次関数です。

座標平面上で2次関数のグラフは放物線になります。
2次関数: ・・・@ のグラフをについて描いたものを右図に示します。
右図ののグラフは、いずれも
y軸に関して対称になります。なぜなら、に対するyの値はともにで等しいからです。
この対称軸のことを放物線の
と言います。
軸と放物線との交点を放物線の
頂点と言います。
右図ののグラフの頂点は、いずれも原点
Oです。軸はy軸です。

これによると、のときは、のとき
(軸の左側)には関数値は減少、のとき(軸の右側)には関数値は増加します。
このとき、グラフが下に向かってふくらんでいるので、
下に凸と言います。

のときは、のとき
(軸の左側)には関数値は増加、のとき(軸の右側)には関数値は減少します。
このとき、グラフは上に向かってふくらんでいるので、
上に凸と言います。

@の
xに置き換えた2次関数: ・・・A のグラフを考えてみます。
とおくと、Aはとなりますが、このグラフは
y軸を軸とし、原点を頂点とする放物線になります。
なので、のグラフ上の点は、Aでは
x座標がpだけ加えられた点に来ます。
これは、右図のように
pだけx軸方向に平行移動した点にくることを意味しています。
のグラフ上の点全てについてこれが言えるので、Aのグラフは、
y軸を軸とし、原点を頂点とする放物線をx軸方向にpだけ平行移動したグラフになります。
Aのグラフでは、軸は
yx軸方向にpだけ平行移動した直線となり、頂点は原点Ox軸方向にpだけ平行移動した点となります。
つまり、Aのグラフは、直線を軸とし、を頂点とする放物線になります。


2次関数: ・・・B のグラフを考えてみます。
Aのグラフと比べると、
y座標がどのxの値に対してもqずつ増えているので、右図のように、Bのグラフは、Aのグラフをy軸方向にqだけ平行移動したグラフになります。
軸は直線のままですが、頂点は、Aのグラフの頂点から
y軸方向にqだけ平行移動した点に移ります。
つまり、Bのグラフは、直線を軸とし、を頂点とする放物線になります。

一般的な場合で、
2次関数: ・・・C のグラフを考察してみます。標準形を平方完成すると、

 
・・・D
となります。
これは、Bにおいて、としたものです。
つまり、Cのグラフは、直線を軸とし、を頂点とする放物線になります。
頂点の
y座標は、Cでとしてできる2次方程式:の判別式:を用いて、と表されることに注意してください。
Cのグラフは、@のグラフを
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動したグラフだと言うこともできます。
従って、@の頂点も原点
Oからx軸方向にy軸方向にだけ平行移動されることになります。

例.
2次関数:のグラフ
右辺を平方完成すると、
このグラフは
y軸を軸、原点を頂点とする下に凸な放物線を、x軸方向に2y軸方向に1だけ平行移動して得られる放物線です。
グラフは右図。



   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元