2次方程式    関連問題

まず、簡単な2次方程式: を考えてみます。
を移項して、
因数分解すると、
2個の実数αβ があるとき、だとすると、αβ のどちらかは0です。
なぜなら、どちらも
0でないとすれば、つまり、だとすれば、だからです。
ということは、のどちらかは
0です。
つまり、,または、
従って、,または、
これを
1つにまとめて、のように書きます。'±'複号と言います。
以上より、の解は、です。
・・・()

2次方程式 () ・・・@
まず、左辺について、
平方完成と呼ばれる式変形を行います。
x2次の項と1次の項をaでくくると、 ・・・A
カッコ内について、
x1次の項の係数xを加えたものの2乗の形を作ります。

つまり、です。
Aに代入すると、

2乗以外の部分を右辺に移項すると、

のときには、()を使うと、

のときには、実数の解はありません。虚数も考えると解がありますが、複素数参照のこと。

は、
2次方程式は実数の解を持つかどうかを判断する重要な式です。これを判別式と言います。
2次方程式@は、のときに、相異なる2個の実数解をもちます。
のときは、
1個の重解をもちます(入試問題によっては、重解を同じ解2個と考える問題もあります)
のときは、実数解を持ちません
(相異なる2個の虚数解を持ちます)

なお、
2次方程式@において、と書ける場合には、
解は、となります。
この場合には、判別式は、の形で考える方がよいでしょう。



2次方程式の解法
(1) において、となる2αβ がすぐに見つかるなら、左辺を因数分解して、
より、解は、

(2) において、であって、となるような4pqrsがすぐに見つかるなら、左辺を因数分解して、
より、解は、

(3) において、左辺が簡単に因数分解できないときは、解の公式を用いる。
と書けるときには、
  

の形でないときには、
  


例.2次方程式の例
(1)
より、左辺を因数分解して、

(2)

より、左辺を因数分解して、

(3)

簡単な因数分解は見つからないので、解の公式を使う。として、

(4)

これも簡単に因数分解できないので、解の公式を使う。xの係数が2の倍数なので、



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