極形式    関連問題

複素数平面上の原点以外の点Pについて、とし、,線分OPが実軸の正方向となす角をθ とするとき、より、

と書けます。この形を
極形式と言います。θz偏角と言い、と書きます。
z共役複素数より、共役複素数の偏角はになります。つまり、です。
[1] の極形式は、
[2] 1) 1の極形式は、
  
2) iの極形式は、
  
3) の極形式は、
  
4) の極形式は、

2つの複素数zwの極形式を、


とします。




これより、極形式で
2つの複素数の積を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の積となり、偏角は、各々の偏角の和となることがわかります。つまり、

 ・・・@





これより、極形式で
2つの複素数の商を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の商となり、偏角は、各々の偏角の差となることがわかります。つまり、

 ・・・A

@,Aを合わせて、複素数の偏角
argには、対数logのような性質があることがわかります。
実際、
nを自然数として、が成り立ちます(ド・モアブルの定理を参照)

複素数に、複素数をかけると、になるということは、
複素数平面上で、wの表す点に向かうベクトルの長さを倍して、だけ回転すると、の表す点に向かうベクトルになる、ということを意味しています。
複素数
zをかけるということは、複素数平面上で拡大縮小と回転を行う、ということを表しているのです。


   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元